Théorie
Nous allons développer par étapes la théorie qui sous-tend le comportement du pendule de Foucault. Celle-ci a pour cadre la mécanique dite rationnelle ou Newtonienne donc non relativiste.
1. Modèle physique du pendule simple
Le principe fondamental énoncé par Newton nous dit en termes simples «il existe un référentiel ou repère absolu (dit galiléen) et un temps absolu dans lequel et pour lequel la variation de vitesse au cours du temps (variation qu’on appelle accélération) d’un corps matériel est inversement proportionnelle à la masse du corps et proportionnelle à la somme des forces s’exerçant sur ce corps » ; formellement cela peut s’écrire comme :
Ma = R
où M est la masse, a est l’accélération par rapport au repère galiléen du centre d’inertie et R la résultante des forces s’exerçant sur le corps.
Pour notre pendule les forces s’exerçant sur lui sont le poids de la boule (action de pesanteur) dirigée verticalement vers le bas et la retenue du câble de suspension dont la direction est celle du câble et dont le sens est vers le haut.
Premières hypothèses :
- On considère la Terre comme un repère galiléen, donc on décrit le mouvement (position, vitesse et accélération) du pendule par rapport à ce référentiel ;
- à l’instant initial le pendule est écarté de sa position d’équilibre à une distance A de la verticale et sans vitesse initiale ;
- la résistance de l’air est négligée devant le poids de la boule ;
- les seules forces s’exerçant sur le pendule sont la pesanteur et la traction du câble ;
- le câble a une masse négligeable par rapport à celle de la boule et est considéré inextensible;
- la boule suspendue est considérée comme un point matériel de masse M.
Le pendule va se mettre en mouvement en décrivant un arc de cercle dont le centre est le point d’accrochage du câble et dont le rayon est L sa longueur. La force motrice est la pesanteur qui tend à ramener le pendule vers sa position d’équilibre verticale (point le plus bas de la course) puis, par son inertie, le pendule continue sa course au-delà de cette position d’équilibre pour atteindre une position symétrique à celle initiale où il se trouve avec une vitesse nulle à une distance A de la verticale ; il a, alors, accompli un demi-cycle. A nouveau en position haute la pesanteur le ramène vers la verticale puis continuer sa course pour atteindre la position initiale. Le cycle est terminé, sa durée est la période T d’oscillation.
Ce cycle se reproduit sans fin puisqu’on a négligé les frottements donc les pertes d’énergie.
Dans le cadre des hypothèses ci-dessus la trajectoire est un arc de cercle qui reste dans le même plan vertical fixe par rapport à l’observateur, lui-même fixe par rapport à la Terre. En effet les forces exercées sur le pendule restent toujours dans un plan vertical donc elles ne peuvent pas engendrer de variation de vitesses (donc d’accélérations) orthogonales à ce plan et sachant qu’à l’instant initial la vitesse était nulle donc a fortiori pas de composante orthogonale au plan vertical défini par la position initiale et la verticale passant par le point d’accrochage.
Conclusion : le pendule, sous les hypothèses précédentes oscille dans un plan vertical qui reste fixe par rapport à la Terre et donc par rapport à l’observateur.
2. Modélisation mathématique du pendule simple
On associe au référentiel terrestre supposé galiléen ou absolu un repère, Rg, de centre O, point d’accrochage du câble, et trois axes, unitaires et orthogonaux formant une base 
Soit G le centre d’inertie de la boule suspendue de masse M ; la longueur du câble est L.
La position du pendule est définie par l’angle ϴ.
Le principe fondamental de la dynamique ou deuxième loi de Newton s’exprime mathématiquement par :
A un instant t la vitesse de G par rapport au repère galiléen est :
L’accélération de G par rapport à Rg, dérivée temporelle de la vitesse, est :
. la traction du câble qui s’oppose à la force centrifuge et au poids :
. l’équation de mouvement :
Cette dernière est une équation différentielle du second ordre et non linéaire à cause du terme sinq ; on ne peut pas en trouver une solution exacte. Soit on cherche une solution numérique approchée soit une solution analytique si on peut linéariser le terme sinq.
Hypothèse supplémentaire : l’angle ϴ est suffisamment petit pour écrire : sinq = q.
Alors l’équation de mouvement donne la solution :
si le pendule est lancé sans vitesse initiale ; le pendule oscille donc périodiquement en fonction du temps t.
où A est la distance de lancer par rapport à la verticale (A est appelée amplitude des oscillations) avec A << L .
T est la période des oscillations et vaut :
Il est notable de remarquer que la période, avec l’approximation A << L, ne dépend pas de l’amplitude du mouvement ; seules, la longueur du pendule et la force de gravité interviennent.
Application à notre pendule de foucault :
Nous mesurons une période T = 9.17 s donc nous en déduisons la longueur du pendule : L = 20.9 m.
Notre amplitude de mouvement est A = 1 m donc sin ϴ0 = A/L = 0.04786 d’où ϴ0 = 0.04788 rd = 2.74 ° donc l’approximation sinq = q induit une erreur de seulement 2 10-5 rd.
Si le rapport A/L devient plus important ou si l’on veut une plus grande précision de valeur de la période on introduit le deuxième terme d’approximation (développement limité) :
qui conduit à la nouvelle approximation de la période :
Dans notre cas, où M 20 kg, DF est de l’ordre de 1 N soit environ 200 fois moins que le poids de la boule.
Cette force fluctuante peut engendrer une fluctuation de longueur du câble et une fluctuation des efforts sur la structure d’accrochage. Les effets de ces efforts dynamiques seront d’autant plus faibles que les raideurs du câble et de la structure porteuse seront grandes.
3. Modèle physique du pendule de Foucault
Nous avons vu dans le chapitre précédent que si la Terre est supposée constituer un référentiel galiléen alors le pendule oscillait dans un plan vertical fixe par rapport à la Terre donc par rapport à l’observateur. Mais l’observation du pendule sur un temps suffisamment long met en évidence qu’il n’en est rien, le plan d’oscillation a un mouvement de rotation (précession) lent par rapport à la Terre. Ce fait infirme alors l’hypothèse que la Terre constitue un référentiel galiléen ou absolu.
Sur un temps long ou pour des vitesses assez grandes la Terre ne peut pas être considérée comme galiléenne. Pour exprimer le principe fondamental de la dynamique il va falloir trouver un autre référentiel, que l’on considèrera comme absolu, et prendre en compte que la Terre se meut par rapport à ce référentiel.
suite et corrections bientôt...........